نمونه سوالات ریاضی دهم

متن مربوط به سوالات ریاضی دهم است. ### پاسخ سوال اول: برای یافتن طول $AH$ به عنوان ارتفاع مثلث $ABC$ و مساحت، به مثلث قائم‌الزاویه $AHC$ نگاه می‌کنیم. با توجه به اینکه زاویه $\mathrm{\angle }ACH={45}^{\circ }$، می‌توانیم بگوییم: $$AH=AC\cdot \sin ({45}^{\circ })$$ و $$HC=AC\cdot \cos ({45}^{\circ })$$ برای حساب کردن مساحت مثلث $ABC$ داریم: $$\text{Area}=\frac{1}{2}\times BC\times AH$$ چون $BC$ پایه و $AH$ ارتفاع است. با استفاده از مشخصات مثلث می‌توانید $AH$ و مساحت را حساب کنید. ### پاسخ سوال الف: عبارت $\frac{2\cot 2^{\circ }}{\sin {178}^{\circ }+\cos 2^{\circ }}$ را باید ساده کنیم. چون $\sin ({178}^{\circ })=\sin (2^{\circ })$ و $\cot (2^{\circ })=\frac{\cos (2^{\circ })}{\sin (2^{\circ })}$، جایگذاری و ساده‌سازی انجام دهید: $$\frac{2\cdot \frac{\cos (2^{\circ })}{\sin (2^{\circ })}}{\sin (2^{\circ })+\cos (2^{\circ })}=\frac{2\cos (2^{\circ })}{\sin (2^{\circ })(\sin (2^{\circ })+\cos (2^{\circ }))}=\frac{2\cos (2^{\circ })}{\sin (2^{\circ }{)}^2+\sin (2^{\circ })\cos (2^{\circ })}$$ ### پاسخ سوال ب: زاویه ${135}^{\circ }$ در ربع دوم مثلثاتی قرار دارد و کسینوس آن منفی است. ### پاسخ سوال ج: اگر $\cos \theta =\frac{4}{5}$، باید با توجه به دایره مثلثاتی $\theta$ را در ربع مناسب پیدا کنیم و نسبت‌های دیگر مثلثاتی را بسازید. چون $\cos \theta$ مثبت است، زوایا در ربع اول یا چهارم قرار می‌گیرند. با استفاده از ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$: $${\sin }^2\theta =1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$$ بنابراین $\sin \theta =\pm \frac{3}{5}$. در ربع اول، مقدار $\sin \theta$ مثبت است، بنابراین $\sin \theta =\frac{3}{5}$ می‌شود. این محاسبات را انجام دهید تا کامل شود.